高级统计实务《案例分析》考点精讲11

第三节  平均指标

集中趋势是指一组数据向某一中心值靠拢的倾向，测度集中趋势也就是要寻找数据一般水平的代表值或中心值。平均指标就是用来反映总体一般水平和集中趋势的指标。

一、平均指标的含义和作用          

(一)平均指标的含义

 平均指标是反映同质总体各单位某一数量标志一般水平的综合指标。其特点就是把同质总体中各单位某一数量标志的数量差异抽象化，用一个数值来表示这一标志在具体时间、地点、条件下的一般水平。2016年高级统计师考试教材19.9元 高级统计师考试保过班338元、考试评审指导微信346401794（QQ同号）、高级统计师历年真题、大纲、报名时间、培训、高级统计师实务教程、考试电子书、考试题库、高级统计师案例分析

(二)平均指标的作用

1．反映数列的集中趋势；

2．比较同类现象在不同空间的发展水平；

3．比较同类现象在不同时间的发展变化趋势；

4．分析现象之间的依存关系。

二、平均指标的种类

平均指标按计算的基础不同分为静态平均数、动态平均数。

静态平均数是根据静态数列计算的，可分为五种：算术平均数、调和平均数、几何平均数、众数、中位数。

 动态平均数是根据动态数列计算的，也称序时平均数。

三、平均指标的计算

(一)算术平均数

1.算术平均数的基本形式

算术平均数是分析社会经济现象一般水平的最基本指标，是统计中计算平均数最常用的方法。其基本形式为

这里需要注意对算术平均数和强度相对数要加以区别。平均数是同一总体内标志总量与总体单位总数之比，它要求标志总量和单位总数相适应，即标志总量必须是总体各单位标志值的总和。强度相对指标则是两个性质不同，但有联系的总量指标之比，作为分子的总量指标，并不随着作为分母的总量指标的变动而变动，二者在数量上没有依存关系。

在不具备基本公式分子、分母资料时，算术平均数根据掌握资料的不同可分为简单算术平均数和加权算术平均数两种。

2.简单算术平均数

资料未分组时采用简单算术平均数计算。简单算术平均数就是直接将总体各单位的标志值相加，求得标志总量，然后除以总体单位总数而求得的平均数。

   算数平均数

   各单位变量值

   总体单位总数

  总和符号

3.加权算术平均数

资料分组时采用加权算术平均数计算。加权算术平均数就是用变量乘权数(次数)，先求出每组的标志总量，并加总取得总体的标志总量，再把权数相加，得到总体单位总数，然后用标志总量除以总体单位总数计算的平均数。

1）由单项数列计算的加权算术平均数

     各单位变量值

     各组单位数

  总体标志总量

   总体单位总量

由上例可以看出，加权算术平均数要受到两个因素的影响，一是变量值，变量值大，平均数就大；二是各组次数，次数多的那一组变量值对平均数的影响会较大。也就是说，当变量值比较大的组次数多时，平均数就接近于变量值大的一方；当变量值比较小的组次数多时，平均数就接近于变量值小的一方。由此可见，次数的多少对平均数大小的影响具有权衡轻重的作用。因此，在统计中通常把次数又称为权数，从而把用权数计算出来的平均数叫做加权算术平均数。应该指出的是，当各组权数相等时，即ƒ1= ƒ2 = ••• = ƒn ，权数就失去了权衡轻重的作用，这时加权算术平均数等于简单算术平均数。

权数除了用绝对数的形式表示外，也可以采用相对数的形式，即各组单位数占总体单位数的比重 来表示。因此，加权算术平均数的计算公式又可表示如下:

【例题2】某企业准备投资开发甲新产品，现有A、B、C三个方案可供选择，经预测A、B、C三个方案的预期收益及概率如下表如示：

要求：

计算A、B、C三个方案预期收益率的期望。

【答案】

计算三个方案的收益期望值：

A方案 =0.3×40＋0.5×20＋0.2×5=23(万元);

B方案 =0.3×50＋0.5×20 -0.2×5=24(万元);

C方案 =0.3×80-0.5×20-0.2×30=8(万元)。

2）由组距数列计算的加权算术平均数

计算方法与由单项数列计算的加权算术平均法基本相同，只要计算出各组的组中值，然后以组中值作为变量代入公式计算即可。

式中

    各组变量组中值

     各组单位数

  总体标志总量

   总体单位总量

应该指出，这种计算方法具有一定的假定性，即假定各单位标志值在组内是均匀分布的，这时各组的平均数正好等于它的组中值。但实际上各单位标志值在组内不可能是完全均匀分布的，因此用组中值计算的平均数，只能是一个近似值。

 4.算术平均数的两个重要数学性质

(1) 各标志值与其算术平均数的离差之和等于零，即

所有标志值与算术平均数的离差平方和为最小值，即

这两个性质是进行趋势预测、回归预测、建立数学模型的重要数学理论依据。