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23年高级统计师教材统计实务知识精讲17
第三节 平均指标
集中趋势是指一组数据向某一中心值靠拢的倾向，测度集中趋势也就是要寻找数据一般水平的代表值或中心值。平均指标就是用来反映总体一般水平和集中趋势的指标。
一、平均指标的含义和作用
(一)平均指标的含义
平均指标是反映同质总体各单位某一数量标志一般水平的综合指标。其特点就是把同质总体中各单位某一数量标志的数量差异抽象化，用一个数值来表示这一标志在具体时间、地点、条件下的一般水平。
(二)平均指标的作用
1．反映数列的集中趋势；
2．比较同类现象在不同空间的发展水平；
3．比较同类现象在不同时间的发展变化趋势；
4．分析现象之间的依存关系。
二、平均指标的种类
平均指标按计算的基础不同分为静态平均数、动态平均数。
静态平均数是根据静态数列计算的，可分为五种：算术平均数、调和平均数、几何平均数、众数、中位数。
动态平均数是根据动态数列计算的，也称序时平均数。
三、平均指标的计算
(一)算术平均数
1.算术平均数的基本形式
算术平均数是分析社会经济现象一般水平的最基本指标，是统计中计算平均数最常用的方法。其基本形式为
这里需要注意对算术平均数和强度相对数要加以区别。平均数是同一总体内标志总量与总体单位总数之比，它要求标志总量和单位总数相适应，即标志总量必须是总体各单位标志值的总和。强度相对指标则是两个性质不同，但有联系的总量指标之比，作为分子的总量指标，并不随着作为分母的总量指标的变动而变动，二者在数量上没有依存关系。
在不具备基本公式分子、分母资料时，算术平均数根据掌握资料的不同可分为简单算术平均数和加权算术平均数两种。23年高级统计师报名时间 高级统计师考试教材 高级统计实务教材 统计时政热点 统计师辅导 高级统计师历年真题 高级统计师押题密卷 购买点图片
2.简单算术平均数
资料未分组时采用简单算术平均数计算。简单算术平均数就是直接将总体各单位的标志值相加，求得标志总量，然后除以总体单位总数而求得的平均数。
算数平均数
各单位变量值
总体单位总数
总和符号
3.加权算术平均数
资料分组时采用加权算术平均数计算。加权算术平均数就是用变量乘权数(次数)，先求出每组的标志总量，并加总取得总体的标志总量，再把权数相加，得到总体单位总数，然后用标志总量除以总体单位总数计算的平均数。
1）由单项数列计算的加权算术平均数
各单位变量值
各组单位数
总体标志总量
总体单位总量
由上例可以看出，加权算术平均数要受到两个因素的影响，一是变量值，变量值大，平均数就大；二是各组次数，次数多的那一组变量值对平均数的影响会较大。也就是说，当变量值比较大的组次数多时，平均数就接近于变量值大的一方；当变量值比较小的组次数多时，平均数就接近于变量值小的一方。由此可见，次数的多少对平均数大小的影响具有权衡轻重的作用。因此，在统计中通常把次数又称为权数，从而把用权数计算出来的平均数叫做加权算术平均数。应该指出的是，当各组权数相等时，即ƒ1= ƒ2 = ••• = ƒn ，权数就失去了权衡轻重的作用，这时加权算术平均数等于简单算术平均数。
权数除了用绝对数的形式表示外，也可以采用相对数的形式，即各组单位数占总体单位数的比重
来表示。因此，加权算术平均数的计算公式又可表示如下:
【例题2】某企业准备投资开发甲新产品，现有A、B、C三个方案可供选择，经预测A、B、C三个方案的预期收益及概率如下表如示：
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市场状况 |
概率 |
年预期收益(万元) | ||
|
A方案 |
B方案 |
C方案 | ||
|
良好 一般 较差 |
0.3 0.5 0.2 |
40 20 5 |
50 20 -5 |
80 -20 -30 |
要求：
计算A、B、C三个方案预期收益率的期望。
【答案】
计算三个方案的收益期望值：
A方案 =0.3×40＋0.5×20＋0.2×5=23(万元);
B方案 =0.3×50＋0.5×20 -0.2×5=24(万元);
C方案 =0.3×80-0.5×20-0.2×30=8(万元)。
2）由组距数列计算的加权算术平均数
计算方法与由单项数列计算的加权算术平均法基本相同，只要计算出各组的组中值，然后以组中值作为变量代入公式计算即可。
四、应用平均指标应注意的问题 (一)必须注意所研究社会经济现象的同质性 计算和应用平均指标的基本前提是被研究现象必须具有某种共同的性质。也就是说，总体各个单位在某一标志上性质是相同的。只有这样才能反映总体的本质，说明总体的一般水平。 (二)必须注意用组平均数补充说明总平均数 许多平均指标的计算是在科学分组的基础上进行的，因此应重视影响总平均数的各个有关因素的作用，通过计算组平均数来补充说明总平均数，以揭示现象内部的结构，从而克服认识上的偏差。 (三)必须注意用分配数列补充说明总平均数 平均指标综合反映了现象的一般水平，但它把总体各单位的差异抽象掉了，因而掩盖了总体各单位的差异及其分配状况。因此，为了进一步分析和说明总体的数量特征，就必须要将总体各单位按被平均的标志分组，列出分配数列，以各组的具体分配情况补充说明总平均数。 (四)计算平均数时，要注意极端值的影响 算术平均数受总体中极端值的影响较大。为了正确反映总体的一般水平，当总体存在过大或过小的极端数值时，应予以剔除，然后将其余数值计算平均数。目前这种方法在文艺、体育比赛评分中应用较多。 【例题8】（2010年）平均指标反映了总体某单位数量标志的一般水平。当统计部门公布一些平均指标时，许多人会觉得与自己的实际感受存在较大差距而产生困惑。请根据平均指标的特点，分析产生这一现象的原因，并简述在实际中应如何正确使用平均数。 【分析与提示】平均指标是反映客观现象总体各单位某一数量标志一般水平的综合指标，其数值表现为平均数，故又称统计平均数。它具有两个特征： （1）它用一个代表性数值说明被研究总体的一般水平； （2）它把被研究总体某一数量标志在总体各个单位之间的差异给抽象了。 计算平均数的最常用的方法是简单算术平均数和加权算术平均数。 求简单算术平均数的基本公式是：平均数=标志总量÷总体总量 加权算术平均数是将变量乘权数求出标志总量，把权数相加求出总体总量，然后按上述公式计算出平均数。该方法适用于复杂社会经济现象的统计分组资料计算平均数的情形。 使用平均数时应注意了解平均数的特点，在运用算术平均数时要特别注意极端值的影响，当数据中出现特大或特小值时，平均数的代表性将减弱。这时为了克服平均数掩盖下的总体内部构成变化的影响，需要计算组平均数来补充说明总平均数，有时也采用中位数和众数的方法来代表总体的一般水平。
23年高级统计师教材统计实务知识精讲17
第三节 平均指标
集中趋势是指一组数据向某一中心值靠拢的倾向，测度集中趋势也就是要寻找数据一般水平的代表值或中心值。平均指标就是用来反映总体一般水平和集中趋势的指标。
一、平均指标的含义和作用
(一)平均指标的含义
平均指标是反映同质总体各单位某一数量标志一般水平的综合指标。其特点就是把同质总体中各单位某一数量标志的数量差异抽象化，用一个数值来表示这一标志在具体时间、地点、条件下的一般水平。
(二)平均指标的作用
1．反映数列的集中趋势；
2．比较同类现象在不同空间的发展水平；
3．比较同类现象在不同时间的发展变化趋势；
4．分析现象之间的依存关系。
二、平均指标的种类
平均指标按计算的基础不同分为静态平均数、动态平均数。
静态平均数是根据静态数列计算的，可分为五种：算术平均数、调和平均数、几何平均数、众数、中位数。
动态平均数是根据动态数列计算的，也称序时平均数。
三、平均指标的计算
(一)算术平均数
1.算术平均数的基本形式
算术平均数是分析社会经济现象一般水平的最基本指标，是统计中计算平均数最常用的方法。其基本形式为
这里需要注意对算术平均数和强度相对数要加以区别。平均数是同一总体内标志总量与总体单位总数之比，它要求标志总量和单位总数相适应，即标志总量必须是总体各单位标志值的总和。强度相对指标则是两个性质不同，但有联系的总量指标之比，作为分子的总量指标，并不随着作为分母的总量指标的变动而变动，二者在数量上没有依存关系。
在不具备基本公式分子、分母资料时，算术平均数根据掌握资料的不同可分为简单算术平均数和加权算术平均数两种。23年高级统计师报名时间 高级统计师考试教材 高级统计实务教材 统计时政热点 统计师辅导 高级统计师历年真题 高级统计师押题密卷 购买点图片
2.简单算术平均数
资料未分组时采用简单算术平均数计算。简单算术平均数就是直接将总体各单位的标志值相加，求得标志总量，然后除以总体单位总数而求得的平均数。
算数平均数
各单位变量值
总体单位总数
总和符号
3.加权算术平均数
资料分组时采用加权算术平均数计算。加权算术平均数就是用变量乘权数(次数)，先求出每组的标志总量，并加总取得总体的标志总量，再把权数相加，得到总体单位总数，然后用标志总量除以总体单位总数计算的平均数。
1）由单项数列计算的加权算术平均数
各单位变量值
各组单位数
总体标志总量
总体单位总量
由上例可以看出，加权算术平均数要受到两个因素的影响，一是变量值，变量值大，平均数就大；二是各组次数，次数多的那一组变量值对平均数的影响会较大。也就是说，当变量值比较大的组次数多时，平均数就接近于变量值大的一方；当变量值比较小的组次数多时，平均数就接近于变量值小的一方。由此可见，次数的多少对平均数大小的影响具有权衡轻重的作用。因此，在统计中通常把次数又称为权数，从而把用权数计算出来的平均数叫做加权算术平均数。应该指出的是，当各组权数相等时，即ƒ1= ƒ2 = ••• = ƒn ，权数就失去了权衡轻重的作用，这时加权算术平均数等于简单算术平均数。
权数除了用绝对数的形式表示外，也可以采用相对数的形式，即各组单位数占总体单位数的比重来表示。因此，加权算术平均数的计算公式又可表示如下:
【例题2】某企业准备投资开发甲新产品，现有A、B、C三个方案可供选择，经预测A、B、C三个方案的预期收益及概率如下表如示：
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市场状况 |
概率 |
年预期收益(万元) | ||
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A方案 |
B方案 |
C方案 | ||
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良好 一般 较差 |
0.3 0.5 0.2 |
40 20 5 |
50 20 -5 |
80 -20 -30 |
要求：
计算A、B、C三个方案预期收益率的期望。
【答案】
计算三个方案的收益期望值：
A方案 =0.3×40＋0.5×20＋0.2×5=23(万元);
B方案 =0.3×50＋0.5×20 -0.2×5=24(万元);
C方案 =0.3×80-0.5×20-0.2×30=8(万元)。
2）由组距数列计算的加权算术平均数
计算方法与由单项数列计算的加权算术平均法基本相同，只要计算出各组的组中值，然后以组中值作为变量代入公式计算即可。
四、应用平均指标应注意的问题 (一)必须注意所研究社会经济现象的同质性 计算和应用平均指标的基本前提是被研究现象必须具有某种共同的性质。也就是说，总体各个单位在某一标志上性质是相同的。只有这样才能反映总体的本质，说明总体的一般水平。 (二)必须注意用组平均数补充说明总平均数 许多平均指标的计算是在科学分组的基础上进行的，因此应重视影响总平均数的各个有关因素的作用，通过计算组平均数来补充说明总平均数，以揭示现象内部的结构，从而克服认识上的偏差。 (三)必须注意用分配数列补充说明总平均数 平均指标综合反映了现象的一般水平，但它把总体各单位的差异抽象掉了，因而掩盖了总体各单位的差异及其分配状况。因此，为了进一步分析和说明总体的数量特征，就必须要将总体各单位按被平均的标志分组，列出分配数列，以各组的具体分配情况补充说明总平均数。 (四)计算平均数时，要注意极端值的影响 算术平均数受总体中极端值的影响较大。为了正确反映总体的一般水平，当总体存在过大或过小的极端数值时，应予以剔除，然后将其余数值计算平均数。目前这种方法在文艺、体育比赛评分中应用较多。 【例题8】（2010年）平均指标反映了总体某单位数量标志的一般水平。当统计部门公布一些平均指标时，许多人会觉得与自己的实际感受存在较大差距而产生困惑。请根据平均指标的特点，分析产生这一现象的原因，并简述在实际中应如何正确使用平均数。 【分析与提示】平均指标是反映客观现象总体各单位某一数量标志一般水平的综合指标，其数值表现为平均数，故又称统计平均数。它具有两个特征： （1）它用一个代表性数值说明被研究总体的一般水平； （2）它把被研究总体某一数量标志在总体各个单位之间的差异给抽象了。 计算平均数的最常用的方法是简单算术平均数和加权算术平均数。 求简单算术平均数的基本公式是：平均数=标志总量÷总体总量 加权算术平均数是将变量乘权数求出标志总量，把权数相加求出总体总量，然后按上述公式计算出平均数。该方法适用于复杂社会经济现象的统计分组资料计算平均数的情形。 使用平均数时应注意了解平均数的特点，在运用算术平均数时要特别注意极端值的影响，当数据中出现特大或特小值时，平均数的代表性将减弱。这时为了克服平均数掩盖下的总体内部构成变化的影响，需要计算组平均数来补充说明总平均数，有时也采用中位数和众数的方法来代表总体的一般水平。
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